4種有趣數學 數字類型｜星島教室
2023-06-29 15:29 
在學校，我們都熟悉某些類型的數：平方數（1, 4, 9, 16, 25, ...）、立方數（1, 8, 27, 64, 125, ...）、素數（只有兩個因數的數：1和它自己）、三角形數（1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, ...）。然而，數種類型包羅萬有，以上舉例，只屬一隅。有一些數特性顯著，個性鮮明，並且被賦予饒富趣味的名字。它們在我們的日常生活中或許並不重要，但它們是美麗的，因此值得一看。
1. 斐波那契數（Fibonacci Numbers）
由比薩的意大利數學家萊昂納多（又稱斐波那契）引入，以非常簡單的數列方式建構。從兩個1開始相加以得到下一個數字：1 + 1 = 2，然後再將這個2添加到它前面的1中得到︰1 + 2 = 3，依此類推。這就完成了斐波那契數的清單：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...。
這個數列的迷人之處，在於它無處不在。如果你計算一朵花的花瓣數量，甚至是鳳梨上的螺旋數量，你通常會發現總數是一個斐波那契數。據統計，三片葉子的三葉草比較常見，而3是斐波那契數；相反，四葉草出現的機率可謂少之又少。由此可見，斐波那契數實在與生活息息相關。
更值得注意的是，如果你將數列中的一個數除以排列在前的數，例如︰8 ÷ 5 = 1.6，89 ÷ 55 = 1.618...，你會發現你愈深入數列，答案就愈接近1.618033...，這個數被稱為黃金比例。以1：1.618的比例建造或繪製的東西，無論是一幅畫、一棟建築，甚至是一張人臉，看起來勻稱協調，人們甚至稱譽黃金比例為「神的比例」、「美的規範」。
2. 完美數 （Perfect Numbers）
完美數是一個等於其因數之和（不包括自身）的正整數。以4為例，除了自身的4外，其因數包括1和2，如果我們將它們加在一起，我們得到1 + 2 = 3 ≠ 4，因此4稱不上是完美數。我們再看看6，其因數除了自身的6，還有1、2和3。這些因數的總和是1 + 2 + 3 = 6，因此6是完美數。事實上，最小的完美數是6，下一個已是28：除了自身的28，其因數為1、2、4、7和14，而1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28。
完美數是非常罕見的，接着是496和8128，第五個是33550336（超過3350萬），數值龐大！數學家們使用超級計算機發現了一些驚人的大完美數，迄今為止最大的有近5000萬位的完美數。
到目前為止，找到的完美數都是偶數（能被2除盡的整數）。有趣的是，數學家們至今仍未解開謎團，到底是否有無限個完美數，亦不知道是否存在任何奇數（不是偶數）的完美數。
3. 吸血鬼數（Vampire Numbers）
幾乎可以肯定的是，你在學校沒有接觸這種數類型！一個數的數位被取出後，將這些數位重新排列成新數字，相乘後可得到原來的數。例如1260中的1、2、6和0，這四個數可以重新排列成兩個兩位數：21和60，而21 × 60 = 1260，因此1260是一個吸血鬼數，而21和60被稱為它的「尖牙」。下一個吸血鬼數是1395 = 15 × 93，而有些更大的吸血鬼數，甚至可以有多對尖牙：125460 = 204 × 615 = 246 × 510。
此外，我們亦有其他「變種」的吸血鬼數，例如：
「偽吸血鬼數」（Pseudovampire Numbers）：
尖牙大小不同，例如︰
1206 = 6 × 201
「吸血鬼素數」（Prime Vampire Numbers）：
一個吸血鬼數，其尖牙是其質因數，例如︰
117067 = 167 × 701
「雙吸血鬼數」（Double Vampire Numbers）：
一個吸血鬼數，其尖牙也是吸血鬼數，例如︰
1047527295416280
= 25198740 × 41570622
= (2940 × 8571) × (5601 × 7422)
4. 自戀數（Narcissistic Numbers）
自戀數乃取名自希臘神話，一個愛上了自己倒影的英俊獵人Narcissus。根據定義，若取一個有n個數位的自戀數的每個數位，分別將它們提高到n次方，然後將它們加在一起，會得回原來的數。例如三位數153，它有三個數位1、3和5，若把它們每個數位的三次方加在一起，便會得回153：13 + 53 + 33 = 153。一個更大的自戀數是四位數9474，其四個數位的四次方加在一起，便會得回9474：94 + 44 + 74 + 44 = 9474。現知存在的自戀數共88個，從最小的0，到最大的115132219018763992565 095597973971522401，足足有39個數位！
就像吸血鬼的數字一樣，自戀的數位也有一些有趣的「變種」：
「杜德尼數」（Dudeney Numbers）：
在提高到三次方之前先將數位相加，例如︰5832 = (5 + 8 + 3 + 2)3。
「孟喬森數」（Munchausen Numbers）：
將每個數位提高到自身的次方，然後相加可得回原來的數，例如︰3435 = 33 + 44 + 33 + 55。（但目前已知的另一個孟喬森數只有1哩。）
「升序冪數」（Ascending Power Numbers）：
將每個數位的次方每次增加1，然後相加，例如 2646798 = 21 + 62 + 43 + 64 + 75 + 96 + 87。（注意：此處每個數位的次方為1、2、3、4、5、6和7。）
數學中有「數論」（Number Theory）這個範疇，主要研究整數的性質，被譽為「最純」的數學領域。箇中學問變化萬千，趣味盎然。若你對以上這篇文章感興趣，不妨繼續鑽研，發掘數學的魅力！
小思考，大智慧
1. 你最喜歡這里討論的哪個數類型呢？斐波那契數、完美數、吸血鬼數，還是自戀數？
2. 你喜歡「吸血鬼數」、「自戀數」這些名稱嗎？試替這些數類型另擬一些更加貼切及動聽的名字。
3. 數學家認為超級電腦的運算結果，不可取代數學的嚴謹證明。你的意見又如何？
4. 請你試試定義一些其他新的、有趣的數類型，並且以一些貼切的名稱命名。
文：九龍真光中學數學科科主任嚴文迅博士
本欄逢周四刊登，由教育評議會邀請資深中小學老師、校長及大學講師撰稿，旨在為學生提供多元化的STEAM學習材料，引發學生探求知識的興趣，將學習融入生活，培養學生的世界觀、敏銳的觸覺、積極學習的態度。
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