奧妙的畢氏定理｜星島教室
2024-12-19 11:40 
我們學習數學一定學習過直角三角形，當中有一個著名的理論——畢氏定理（Pythagorean theorem）。生活中我們不知不覺地應用這個理論。其實畢氏定理不僅是數學中的基礎理論，還在現代生活和技術中有許多實際應用，例如過馬路、走斜坡、走捷徑等，都經常運用畢氏定理。
何謂「畢氏定理」？
這個定理告訴我們，直角三角形中的兩條短邊的平方和等於長邊的平方。這條長邊叫做斜邊，也是直角對面的那條邊。
「畢氏定理」的公式是： a2+b2=c2
a和b是直角三角形的兩條邊
c是斜邊（最長的那條邊）
假設一個直角三角形，它的兩條邊長（a和b）分別是3米和4米。你可以用畢氏定理來計算斜邊的長度：32+42=c2，即是，9+16=c2，所以：25=c2，√25=c，5=c。因此，我們可用此方法找出斜邊的長度是5米。
生活解難
1. 最短路線
在一條繁忙的街道上，想由紅點走到紅色箭嘴。你可以先沿着橙色路線，連續過兩條斑馬線，亦可以直接沿着藍色路線走，這樣更快，更省時間。你可以用畢氏定理來計算這條最短的藍色路線的距離。
假設其中一條路線長40米，另一路線長30米，你想知道由紅點走到紅色箭嘴的最短距離，我們可以根據畢氏定理，計算藍色路線的長度：302+402=藍色路線2，√2500=藍色路線，藍色路線的長度是50米。換言之，如果我們走藍色路線的路程，比過兩條斑馬線（30+40=70）短。
2. 滑梯長度
滑梯是我們經常玩的玩具，設計者常須計算滑梯的實際長度，以確保滑行的舒適性和安全性。這個長度可通過畢氏定理來計算，當我們已知滑梯的高度和水平距離時，滑梯長度就是這兩者形成的直角三角形的斜邊。
圖3是一個滑梯，黃色線是1米高，綠色線有1.5米長，黃色線和綠色線是互相垂直，因此可通過畢氏定理來計算紅色線滑梯的長度：12+1.52=滑梯長度2，即是√3.25=滑梯的長度，那麼滑梯的長度約1.8米。
另外，滑梯的長度和坡度會直接影響滑行的速度和感受。通過計算滑梯的實際長度，設計師便可確保滑梯的坡度不會過於陡峭，從而提供一個既安全又有趣的滑行體驗。假若坡度較平緩的滑梯，適合兒童使用，這樣，黃色線高度保持不變，而綠色水平線延長至3米，如此綠色水平線與紅色斜邊的角度會降低，而紅色線的長度可利用畢氏定理來計算：平緩滑梯長度=√（12+32）=√103.16米。換言之，如要坡度較低，較平緩的滑梯，需要水平長度和斜邊長度較長的滑梯。
3. 最短路徑
我們要走出一個面積大的地方，捷徑是最快又最省力的方法。如果你在公園的棕櫚園，想走到桃花園。你可以有兩個選擇︰先沿着黑色路線，經過餐廳和廁所，然後再經過第二條黑色路線，再到桃花園，這個方法不但浪費時間，又浪費力氣；但走紅色路線會更快。這個時候，你可以用畢氏定理來計算這條最短的紅色線路程。
假設公園的一邊是30米，另一邊是40米，你想知道走對角線的最短距離是多少。根據畢氏定理，我們可以計算出從棕櫚園到桃花園最近的距離：302+402=棕櫚園到桃花園最近的距離2，即是√2500=棕櫚園到桃花園最近的距離，因此從棕櫚園到桃花園最近的距離是50米。換言之，在一個直角三角形里，構成直角的兩條邊長長度相加一定是比斜邊長，所以斜邊是最短的。
GPS計算距離
GPS（全球定位系統）的運作原理中涉及大量數學計算，其中包括畢氏定理的應用。雖然GPS本身運用了更為複雜的數學（如三角測量和相對論效應），但在某些情況下，畢氏定理可用來解決GPS定位中的問題，特別是當我們處理平面距離或簡單的距離計算時。
畢氏定理在全球定位系統（GPS）中非常重要。GPS通常依賴於從多顆衛星發送的信號來確定某個物體或人的位置。每顆衛星會發送到達接收器的信號，GPS接收器可根據這些信號計算出兩個地方之間的距離。
當然，我們只考慮在地球上水平平面上的定位，就可以使用畢氏定理來進行簡化計算。當我們知道某個點的經緯度時，通過畢氏定理就可以計算兩點之間的直線距離。
例如：假設GPS確定了兩個點的水平位置，該點是紅點（經度90度，緯度80度）與黃點（經度120度，緯度40度），即是垂直黃色線是緯度相減（80度-40度）=40單位，而水平黃色線是經度相減（120度-90度）=30單位。此時，我們可用畢氏定理來計算兩點之間的直線距離，即平面上最短距離。
根據畢氏定理：
兩點距離=√(402+302)=√2500=50單位
因此，紅點與黃點之間的直線距離為50單位。這種情況下，GPS接收器可知道自己在平面上的具體位置，並根據位置與其他點距離進行計算。
畢氏定理不僅僅是一個數學公式，它在日常生活中有許多應用。無論是計算斜台的長度、走最短的路，還是GPS上的應用，畢氏定理是一個非常有用的工具來計算平面或空間中的直線距離。無論是在導航、計算水平距離，還是高度差的問題中，畢氏定理都能提供簡單而有效解法。希望你能通過這些例子，學會在生活中應用畢氏定理。
小思考，大智慧
如果遇到非直角三角形的生活難題，我們可以應用哪些理論？
參考答案
我們可使用其他數學工具來解決，比如「正弦定理」和「餘弦定理」。這些定理都可以幫助我們處理非直角三角形中的邊長和角度計算，並且在很多實際應用中皆非常有用。
本欄逢周四刊登，由教育評議會邀請資深中小學老師、校長及大學講師撰稿，旨在為學生提供多元化的STEAM學習材料，引發學生探求知識的興趣，將學習融入生活，培養學生的世界觀、敏銳的觸覺、積極學習的態度。
文：中華基督教會蒙黃花沃紀念小學數學科主任 葉劍㷨、中華基督教會蒙黃花沃紀念小學老師周偉強博士
延伸閱讀：
最新回應