機率背後藏玄機 改變抉擇展睿智|星島教室

2023-11-23 16:16

機率背後藏玄機 改變抉擇展睿智|星島教室
機率背後藏玄機 改變抉擇展睿智|星島教室

「機率」是數學領域的一門學問,它並非遙不可及,而是無處不在。由抽籤、擲骰子,以至天氣預報、金融投資,無不涉及機率。讀者們或許也有參加抽獎遊戲的經驗,懂得增加自己勝算小智慧,你就能成遊戲中的大贏家!


山羊問題

以下筆者將與讀者玩一個遊戲。

眼前有三扇緊閉的門,當中一扇門後面有汽車,另外兩扇門後面有山羊。若你幸運選中有車的門,便能榮升為車主。遊戲開始時,你隨機選了1號門。這時候,主持人打開3號門,讓你知道3號門後沒有車。主持人給予你改變最初選擇的機會,你會如何抉擇?

這是一道著名的謎題:「山羊問題」(Monty Hall problem)。在決定應否改變選擇時,不可單憑直覺或祈求上天眷顧,而是要好好計算機率。

如果你認為1號門和2號門的機率同是,改不改變選擇也無關緊要,那便錯了!當主持人打開3號門之後,汽車在1號門後面的機率是 ,而汽車在2號門後面的機率是。


1號門和2、3號門的對決

遊戲開始時,汽車可能在1號、2號,或3號門後,故1號門有車的機率為。同理,2號門和3號門有車的機率亦各自是。這意味着2號或3號門後有車的機率是( + )= 。

若玩家能在遊戲開始時,在「只選1號門」和「同時選2號和3號兩扇門」之間作出選擇,他必定會選後者。顯然,同時選兩扇門可以將他贏得汽車的機率由提升至。不過遊戲開始時,主持人並沒有給予玩家這兩個選擇;玩家只能選一扇門,而他隨機選了1號門。請注意,選擇1號門等同放棄2號和3號門,而2號或3號門後有汽車的機率是。

玩家選好1號門之後,主持人打開3號門,再給玩家一個改變選擇的機會。若玩家改變選擇,其實等同重新選擇本來放棄的2號和3號門。遊戲開始時,2號或3號門後有汽車的機率是。在主持人打開3號門之後,2號或3號門有車的機率仍然是;由於玩家已經知道汽車不可能在3號門後,所以3號門有車的機率會「轉移」給2號門,令2號門有車的機率變成。換言之,玩家在主持人打開3號門之後轉而選2號門,相當於在遊戲開始時,同時選2號和3號門。因此,改變選擇讓玩家有的機率贏得汽車!


改變永遠是最佳策略

事實上,無論主持人打開哪扇門,玩家都應該改變選擇來增加勝算。

上文假設3號門沒有汽車;現在,我們要考慮汽車的所有可能位置,所以必須撇除這個假設。正如下圖所示,汽車有3個可能位置:1號門、2號門和3號門。

已知玩家選了1號門。玩家選好之後,主持人會打開一扇門,再問玩家要不要改變原來的選擇。主持人不能直接告訴玩家其選擇是否正確,所以主持人不會打開1號門,只會打開2號和3號門之間沒有車的那扇門。假如可能1號門為真,那麼主持人就會打開2號或3號門。如果玩家改變選擇,就不能贏得汽車。可是假如可能2號門為真,那麼主持人就只能打開3號門。若玩家改變選擇,就能贏得汽車。最後,假如可能3號門為真,主持人則會打開2號門。玩家改變選擇的話,就能贏得汽車。以上3個可能性中,玩家能在其中兩個情境中通過改變選擇贏得汽車;換言之,玩家改變選擇,有機率可以贏得汽車!

讀畢全文後,盼望讀者明白改變選擇能將贏得汽車的機率由增加至。事實上,「山羊問題」曝露了日常思考出現的盲點,我們要學會勤於思考、認真求證,自能撥開迷霧,增長智慧!


另類山羊問題

1. 上課時,老師向你提出了一道多項選擇題,共有4個選項(A、B、C、D),只有1個選項正確。你隨機選了A之後,老師告訴你B和C是錯誤的。現在,A是正確答案的機率是多少?D是正確答案的機率是多少?

2. 老師再向你和你的朋友提出另一道多項選擇題,有4個選項(A、B、C、D),只有1個選項正確。你隨機選了A,而你的朋友隨機選了D。聽到你們的答案後,老師說B是錯誤的。現在,A是正確答案的機率是多少?C是正確答案的機率是多少?D是正確答案的機率是多少?


本欄逢周四刊登,由教育評議會邀請資深中小學老師、校長及大學講師撰稿,旨在為學生提供多元化的STEAM學習材料,引發學生探求知識的興趣,將學習融入生活,培養學生的世界觀、敏銳的觸覺、積極學習的態度。

文:九龍真光中學老師溫芷昕

延伸閱讀:

STEM天望地:「放飛機」的學問|星島教室

STEAM|人工智能AI比我們聰明?|星島教室

開發觀察技能 展現無限可能|星島教室

STEAM教育好助手︰ChatGPT|星島教室

5G幕後功臣︰光纖|星島教室


訂閱《星島校園報》連環送學習天書及網上練習,立即瀏覽了解詳情:https://bit.ly/BTSEP2023
《星島頭條》APP經已推出最新版本,請立即更新,瀏覽更精彩內容:https://bit.ly/3yLrgYZ

關鍵字

最新回應

關鍵字

相關新聞

You are currently at: 187235123.xyz
Skip This Ads
close ad
close ad