机率背后藏玄机 改变抉择展睿智|星岛教室

2023-11-23 16:16

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机率背后藏玄机 改变抉择展睿智|星岛教室

「机率」是数学领域的一门学问,它并非遥不可及,而是无处不在。由抽签、掷骰子,以至天气预报、金融投资,无不涉及机率。读者们或许也有参加抽奖游戏的经验,懂得增加自己胜算小智慧,你就能成游戏中的大赢家!


山羊问题

以下笔者将与读者玩一个游戏。

眼前有三扇紧闭的门,当中一扇门后面有汽车,另外两扇门后面有山羊。若你幸运选中有车的门,便能荣升为车主。游戏开始时,你随机选了1号门。这时候,主持人打开3号门,让你知道3号门后没有车。主持人给予你改变最初选择的机会,你会如何抉择?

这是一道著名的谜题:「山羊问题」(Monty Hall problem)。在决定应否改变选择时,不可单凭直觉或祈求上天眷顾,而是要好好计算机率。

如果你认为1号门和2号门的机率同是,改不改变选择也无关紧要,那便错了!当主持人打开3号门之后,汽车在1号门后面的机率是 ,而汽车在2号门后面的机率是。


1号门和2、3号门的对决

游戏开始时,汽车可能在1号、2号,或3号门后,故1号门有车的机率为。同理,2号门和3号门有车的机率亦各自是。这意味着2号或3号门后有车的机率是( + )= 。

若玩家能在游戏开始时,在「只选1号门」和「同时选2号和3号两扇门」之间作出选择,他必定会选后者。显然,同时选两扇门可以将他赢得汽车的机率由提升至。不过游戏开始时,主持人并没有给予玩家这两个选择;玩家只能选一扇门,而他随机选了1号门。请注意,选择1号门等同放弃2号和3号门,而2号或3号门后有汽车的机率是。

玩家选好1号门之后,主持人打开3号门,再给玩家一个改变选择的机会。若玩家改变选择,其实等同重新选择本来放弃的2号和3号门。游戏开始时,2号或3号门后有汽车的机率是。在主持人打开3号门之后,2号或3号门有车的机率仍然是;由于玩家已经知道汽车不可能在3号门后,所以3号门有车的机率会「转移」给2号门,令2号门有车的机率变成。换言之,玩家在主持人打开3号门之后转而选2号门,相当于在游戏开始时,同时选2号和3号门。因此,改变选择让玩家有的机率赢得汽车!


改变永远是最佳策略

事实上,无论主持人打开哪扇门,玩家都应该改变选择来增加胜算。

上文假设3号门没有汽车;现在,我们要考虑汽车的所有可能位置,所以必须撇除这个假设。正如下图所示,汽车有3个可能位置:1号门、2号门和3号门。

已知玩家选了1号门。玩家选好之后,主持人会打开一扇门,再问玩家要不要改变原来的选择。主持人不能直接告诉玩家其选择是否正确,所以主持人不会打开1号门,只会打开2号和3号门之间没有车的那扇门。假如可能1号门为真,那么主持人就会打开2号或3号门。如果玩家改变选择,就不能赢得汽车。可是假如可能2号门为真,那么主持人就只能打开3号门。若玩家改变选择,就能赢得汽车。最后,假如可能3号门为真,主持人则会打开2号门。玩家改变选择的话,就能赢得汽车。以上3个可能性中,玩家能在其中两个情境中通过改变选择赢得汽车;换言之,玩家改变选择,有机率可以赢得汽车!

读毕全文后,盼望读者明白改变选择能将赢得汽车的机率由增加至。事实上,「山羊问题」曝露了日常思考出现的盲点,我们要学会勤于思考、认真求证,自能拨开迷雾,增长智慧!


另类山羊问题

1. 上课时,老师向你提出了一道多项选择题,共有4个选项(A、B、C、D),只有1个选项正确。你随机选了A之后,老师告诉你B和C是错误的。现在,A是正确答案的机率是多少?D是正确答案的机率是多少?

2. 老师再向你和你的朋友提出另一道多项选择题,有4个选项(A、B、C、D),只有1个选项正确。你随机选了A,而你的朋友随机选了D。听到你们的答案后,老师说B是错误的。现在,A是正确答案的机率是多少?C是正确答案的机率是多少?D是正确答案的机率是多少?


本栏逢周四刊登,由教育评议会邀请资深中小学老师、校长及大学讲师撰稿,旨在为学生提供多元化的STEAM学习材料,引发学生探求知识的兴趣,将学习融入生活,培养学生的世界观、敏锐的触觉、积极学习的态度。

文:九龙真光中学老师温芷昕

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