机率背后藏玄机改变抉择展睿智｜星岛教室

2023-11-23 16:16

「机率」是数学领域的一门学问，它并非遥不可及，而是无处不在。由抽签、掷骰子，以至天气预报、金融投资，无不涉及机率。读者们或许也有参加抽奖游戏的经验，懂得增加自己胜算小智慧，你就能成游戏中的大赢家！

山羊问题

以下笔者将与读者玩一个游戏。

眼前有三扇紧闭的门，当中一扇门后面有汽车，另外两扇门后面有山羊。若你幸运选中有车的门，便能荣升为车主。游戏开始时，你随机选了1号门。这时候，主持人打开3号门，让你知道3号门后没有车。主持人给予你改变最初选择的机会，你会如何抉择？

这是一道著名的谜题：「山羊问题」（Monty Hall problem）。在决定应否改变选择时，不可单凭直觉或祈求上天眷顾，而是要好好计算机率。

如果你认为1号门和2号门的机率同是，改不改变选择也无关紧要，那便错了！当主持人打开3号门之后，汽车在1号门后面的机率是，而汽车在2号门后面的机率是。

1号门和2、3号门的对决

游戏开始时，汽车可能在1号、2号，或3号门后，故1号门有车的机率为。同理，2号门和3号门有车的机率亦各自是。这意味着2号或3号门后有车的机率是（ + ）= 。

若玩家能在游戏开始时，在「只选1号门」和「同时选2号和3号两扇门」之间作出选择，他必定会选后者。显然，同时选两扇门可以将他赢得汽车的机率由提升至。不过游戏开始时，主持人并没有给予玩家这两个选择；玩家只能选一扇门，而他随机选了1号门。请注意，选择1号门等同放弃2号和3号门，而2号或3号门后有汽车的机率是。

玩家选好1号门之后，主持人打开3号门，再给玩家一个改变选择的机会。若玩家改变选择，其实等同重新选择本来放弃的2号和3号门。游戏开始时，2号或3号门后有汽车的机率是。在主持人打开3号门之后，2号或3号门有车的机率仍然是；由于玩家已经知道汽车不可能在3号门后，所以3号门有车的机率会「转移」给2号门，令2号门有车的机率变成。换言之，玩家在主持人打开3号门之后转而选2号门，相当于在游戏开始时，同时选2号和3号门。因此，改变选择让玩家有的机率赢得汽车！

改变永远是最佳策略

事实上，无论主持人打开哪扇门，玩家都应该改变选择来增加胜算。

上文假设3号门没有汽车；现在，我们要考虑汽车的所有可能位置，所以必须撇除这个假设。正如下图所示，汽车有3个可能位置：1号门、2号门和3号门。

已知玩家选了1号门。玩家选好之后，主持人会打开一扇门，再问玩家要不要改变原来的选择。主持人不能直接告诉玩家其选择是否正确，所以主持人不会打开1号门，只会打开2号和3号门之间没有车的那扇门。假如可能1号门为真，那么主持人就会打开2号或3号门。如果玩家改变选择，就不能赢得汽车。可是假如可能2号门为真，那么主持人就只能打开3号门。若玩家改变选择，就能赢得汽车。最后，假如可能3号门为真，主持人则会打开2号门。玩家改变选择的话，就能赢得汽车。以上3个可能性中，玩家能在其中两个情境中通过改变选择赢得汽车；换言之，玩家改变选择，有机率可以赢得汽车！

读毕全文后，盼望读者明白改变选择能将赢得汽车的机率由增加至。事实上，「山羊问题」曝露了日常思考出现的盲点，我们要学会勤于思考、认真求证，自能拨开迷雾，增长智慧！