4种有趣数学 数字类型｜星岛教室
2023-06-29 15:29 
在学校，我们都熟悉某些类型的数：平方数（1, 4, 9, 16, 25, ...）、立方数（1, 8, 27, 64, 125, ...）、素数（只有两个因数的数：1和它自己）、三角形数（1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, ...）。然而，数种类型包罗万有，以上举例，只属一隅。有一些数特性显著，个性鲜明，并且被赋予饶富趣味的名字。它们在我们的日常生活中或许并不重要，但它们是美丽的，因此值得一看。
1. 斐波那契数（Fibonacci Numbers）
由比萨的意大利数学家莱昂纳多（又称斐波那契）引入，以非常简单的数列方式建构。从两个1开始相加以得到下一个数字：1 + 1 = 2，然后再将这个2添加到它前面的1中得到︰1 + 2 = 3，依此类推。这就完成了斐波那契数的清单：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...。
这个数列的迷人之处，在于它无处不在。如果你计算一朵花的花瓣数量，甚至是凤梨上的螺旋数量，你通常会发现总数是一个斐波那契数。据统计，三片叶子的三叶草比较常见，而3是斐波那契数；相反，四叶草出现的机率可谓少之又少。由此可见，斐波那契数实在与生活息息相关。
更值得注意的是，如果你将数列中的一个数除以排列在前的数，例如︰8 ÷ 5 = 1.6，89 ÷ 55 = 1.618...，你会发现你愈深入数列，答案就愈接近1.618033...，这个数被称为黄金比例。以1：1.618的比例建造或绘制的东西，无论是一幅画、一栋建筑，甚至是一张人脸，看起来匀称协调，人们甚至称誉黄金比例为「神的比例」、「美的规范」。
2. 完美数 （Perfect Numbers）
完美数是一个等于其因数之和（不包括自身）的正整数。以4为例，除了自身的4外，其因数包括1和2，如果我们将它们加在一起，我们得到1 + 2 = 3 ≠ 4，因此4称不上是完美数。我们再看看6，其因数除了自身的6，还有1、2和3。这些因数的总和是1 + 2 + 3 = 6，因此6是完美数。事实上，最小的完美数是6，下一个已是28：除了自身的28，其因数为1、2、4、7和14，而1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28。
完美数是非常罕见的，接着是496和8128，第五个是33550336（超过3350万），数值庞大！数学家们使用超级计算机发现了一些惊人的大完美数，迄今为止最大的有近5000万位的完美数。
到目前为止，找到的完美数都是偶数（能被2除尽的整数）。有趣的是，数学家们至今仍未解开谜团，到底是否有无限个完美数，亦不知道是否存在任何奇数（不是偶数）的完美数。
3. 吸血鬼数（Vampire Numbers）
几乎可以肯定的是，你在学校没有接触这种数类型！一个数的数位被取出后，将这些数位重新排列成新数字，相乘后可得到原来的数。例如1260中的1、2、6和0，这四个数可以重新排列成两个两位数：21和60，而21 × 60 = 1260，因此1260是一个吸血鬼数，而21和60被称为它的「尖牙」。下一个吸血鬼数是1395 = 15 × 93，而有些更大的吸血鬼数，甚至可以有多对尖牙：125460 = 204 × 615 = 246 × 510。
此外，我们亦有其他「变种」的吸血鬼数，例如：
「伪吸血鬼数」（Pseudovampire Numbers）：
尖牙大小不同，例如︰
1206 = 6 × 201
「吸血鬼素数」（Prime Vampire Numbers）：
一个吸血鬼数，其尖牙是其质因数，例如︰
117067 = 167 × 701
「双吸血鬼数」（Double Vampire Numbers）：
一个吸血鬼数，其尖牙也是吸血鬼数，例如︰
1047527295416280
= 25198740 × 41570622
= (2940 × 8571) × (5601 × 7422)
4. 自恋数（Narcissistic Numbers）
自恋数乃取名自希腊神话，一个爱上了自己倒影的英俊猎人Narcissus。根据定义，若取一个有n个数位的自恋数的每个数位，分别将它们提高到n次方，然后将它们加在一起，会得回原来的数。例如三位数153，它有三个数位1、3和5，若把它们每个数位的三次方加在一起，便会得回153：13 + 53 + 33 = 153。一个更大的自恋数是四位数9474，其四个数位的四次方加在一起，便会得回9474：94 + 44 + 74 + 44 = 9474。现知存在的自恋数共88个，从最小的0，到最大的115132219018763992565 095597973971522401，足足有39个数位！
就像吸血鬼的数字一样，自恋的数位也有一些有趣的「变种」：
「杜德尼数」（Dudeney Numbers）：
在提高到三次方之前先将数位相加，例如︰5832 = (5 + 8 + 3 + 2)3。
「孟乔森数」（Munchausen Numbers）：
将每个数位提高到自身的次方，然后相加可得回原来的数，例如︰3435 = 33 + 44 + 33 + 55。（但目前已知的另一个孟乔森数只有1哩。）
「升序幂数」（Ascending Power Numbers）：
将每个数位的次方每次增加1，然后相加，例如 2646798 = 21 + 62 + 43 + 64 + 75 + 96 + 87。（注意：此处每个数位的次方为1、2、3、4、5、6和7。）
数学中有「数论」（Number Theory）这个范畴，主要研究整数的性质，被誉为「最纯」的数学领域。个中学问变化万千，趣味盎然。若你对以上这篇文章感兴趣，不妨继续钻研，发掘数学的魅力！
小思考，大智慧
1. 你最喜欢这里讨论的哪个数类型呢？斐波那契数、完美数、吸血鬼数，还是自恋数？
2. 你喜欢「吸血鬼数」、「自恋数」这些名称吗？试替这些数类型另拟一些更加贴切及动听的名字。
3. 数学家认为超级电脑的运算结果，不可取代数学的严谨证明。你的意见又如何？
4. 请你试试定义一些其他新的、有趣的数类型，并且以一些贴切的名称命名。
文：九龙真光中学数学科科主任严文迅博士
本栏逢周四刊登，由教育评议会邀请资深中小学老师、校长及大学讲师撰稿，旨在为学生提供多元化的STEAM学习材料，引发学生探求知识的兴趣，将学习融入生活，培养学生的世界观、敏锐的触觉、积极学习的态度。
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