4种有趣数学 数字类型|星岛教室

2023-06-29 15:29

在学校,我们都熟悉某些类型的数:平方数(1, 4, 9, 16, 25, ...)、立方数(1, 8, 27, 64, 125, ...)、素数(只有两个因数的数:1和它自己)、三角形数(1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, ...)。然而,数种类型包罗万有,以上举例,只属一隅。有一些数特性显著,个性鲜明,并且被赋予饶富趣味的名字。它们在我们的日常生活中或许并不重要,但它们是美丽的,因此值得一看。


1. 斐波那契数(Fibonacci Numbers)

由比萨的意大利数学家莱昂纳多(又称斐波那契)引入,以非常简单的数列方式建构。从两个1开始相加以得到下一个数字:1 + 1 = 2,然后再将这个2添加到它前面的1中得到︰1 + 2 = 3,依此类推。这就完成了斐波那契数的清单:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...。

这个数列的迷人之处,在于它无处不在。如果你计算一朵花的花瓣数量,甚至是凤梨上的螺旋数量,你通常会发现总数是一个斐波那契数。据统计,三片叶子的三叶草比较常见,而3是斐波那契数;相反,四叶草出现的机率可谓少之又少。由此可见,斐波那契数实在与生活息息相关。

更值得注意的是,如果你将数列中的一个数除以排列在前的数,例如︰8 ÷ 5 = 1.6,89 ÷ 55 = 1.618...,你会发现你愈深入数列,答案就愈接近1.618033...,这个数被称为黄金比例。以1:1.618的比例建造或绘制的东西,无论是一幅画、一栋建筑,甚至是一张人脸,看起来匀称协调,人们甚至称誉黄金比例为「神的比例」、「美的规范」。


2. 完美数 (Perfect Numbers)

完美数是一个等于其因数之和(不包括自身)的正整数。以4为例,除了自身的4外,其因数包括1和2,如果我们将它们加在一起,我们得到1 + 2 = 3 ≠ 4,因此4称不上是完美数。我们再看看6,其因数除了自身的6,还有1、2和3。这些因数的总和是1 + 2 + 3 = 6,因此6是完美数。事实上,最小的完美数是6,下一个已是28:除了自身的28,其因数为1、2、4、7和14,而1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28。

完美数是非常罕见的,接着是496和8128,第五个是33550336(超过3350万),数值庞大!数学家们使用超级计算机发现了一些惊人的大完美数,迄今为止最大的有近5000万位的完美数。

到目前为止,找到的完美数都是偶数(能被2除尽的整数)。有趣的是,数学家们至今仍未解开谜团,到底是否有无限个完美数,亦不知道是否存在任何奇数(不是偶数)的完美数。


3. 吸血鬼数(Vampire Numbers)

几乎可以肯定的是,你在学校没有接触这种数类型!一个数的数位被取出后,将这些数位重新排列成新数字,相乘后可得到原来的数。例如1260中的1、2、6和0,这四个数可以重新排列成两个两位数:21和60,而21 × 60 = 1260,因此1260是一个吸血鬼数,而21和60被称为它的「尖牙」。下一个吸血鬼数是1395 = 15 × 93,而有些更大的吸血鬼数,甚至可以有多对尖牙:125460 = 204 × 615 = 246 × 510。

此外,我们亦有其他「变种」的吸血鬼数,例如:

「伪吸血鬼数」(Pseudovampire Numbers):

尖牙大小不同,例如︰

1206 = 6 × 201

「吸血鬼素数」(Prime Vampire Numbers):

一个吸血鬼数,其尖牙是其质因数,例如︰

117067 = 167 × 701

「双吸血鬼数」(Double Vampire Numbers):

一个吸血鬼数,其尖牙也是吸血鬼数,例如︰

1047527295416280

= 25198740 × 41570622

= (2940 × 8571) × (5601 × 7422)


4. 自恋数(Narcissistic Numbers)

自恋数乃取名自希腊神话,一个爱上了自己倒影的英俊猎人Narcissus。根据定义,若取一个有n个数位的自恋数的每个数位,分别将它们提高到n次方,然后将它们加在一起,会得回原来的数。例如三位数153,它有三个数位1、3和5,若把它们每个数位的三次方加在一起,便会得回153:13 + 53 + 33 = 153。一个更大的自恋数是四位数9474,其四个数位的四次方加在一起,便会得回9474:94 + 44 + 74 + 44 = 9474。现知存在的自恋数共88个,从最小的0,到最大的115132219018763992565 095597973971522401,足足有39个数位!

 就像吸血鬼的数字一样,自恋的数位也有一些有趣的「变种」:

「杜德尼数」(Dudeney Numbers):

在提高到三次方之前先将数位相加,例如︰5832 = (5 + 8 + 3 + 2)3。

「孟乔森数」(Munchausen Numbers):

将每个数位提高到自身的次方,然后相加可得回原来的数,例如︰3435 = 33 + 44 + 33 + 55。(但目前已知的另一个孟乔森数只有1哩。)

「升序幂数」(Ascending Power Numbers):

将每个数位的次方每次增加1,然后相加,例如 2646798 = 21 + 62 + 43 + 64 + 75 + 96 + 87。(注意:此处每个数位的次方为1、2、3、4、5、6和7。)

数学中有「数论」(Number Theory)这个范畴,主要研究整数的性质,被誉为「最纯」的数学领域。个中学问变化万千,趣味盎然。若你对以上这篇文章感兴趣,不妨继续钻研,发掘数学的魅力!


小思考,大智慧

1. 你最喜欢这里讨论的哪个数类型呢?斐波那契数、完美数、吸血鬼数,还是自恋数?

2. 你喜欢「吸血鬼数」、「自恋数」这些名称吗?试替这些数类型另拟一些更加贴切及动听的名字。

3. 数学家认为超级电脑的运算结果,不可取代数学的严谨证明。你的意见又如何?

4. 请你试试定义一些其他新的、有趣的数类型,并且以一些贴切的名称命名。


文:九龙真光中学数学科科主任严文迅博士

本栏逢周四刊登,由教育评议会邀请资深中小学老师、校长及大学讲师撰稿,旨在为学生提供多元化的STEAM学习材料,引发学生探求知识的兴趣,将学习融入生活,培养学生的世界观、敏锐的触觉、积极学习的态度。


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